通过XOR技巧研究loop O(n)模型中的宏观圈

loop $O(n)$模型是六角晶格上非相交圈集合上的一族概率测度,由圈权重$n$和边权重$x$参数化。Nienhuis预测,对于$0 \leq n \leq 2$,模型在$x_c(n) = 1/\sqrt{2 + \sqrt{2-n}}$处分为两个 regime:当$x < x_c(n)$时,圈长具有指数尾,而当$x \geq x_c(n)$时,圈是宏观的。本文中,我们证明关于loop $O(n)$模型中长圈存在的三个结果:- 在$(n,x) \in [1,1+\delta) \times (1- \delta, 1]$且$\delta >0$较小的 regime 中,从平移不变Gibbs测度抽取的配置要么包含无限路径,要么有无限多个圈环绕每个面。在子 regime $n \in [1,1+\delta)$且$x \in (1-\delta,1/\sqrt{n}]$中,我们的结果进一步蕴含Russo--Seymour--Welsh理论。这是对相图正面积子集内宏观圈存在的首个证明。- 当$n=1, x \in (1,\sqrt{3}]$时,存在直径与有限域直径可比的圈;该 regime 等价于三角晶格上Ising模型的反铁磁 regime 的一部分。- 当$n \in [1,2], x=1$时,环面上存在不可收缩圈。证明的主要要素为:(i)‘XOR技巧’:若$\omega$是一组短圈且$\Gamma$是一个长圈,则$\omega$与$\Gamma$的对称差必然也包含一个长圈;(ii) 将寻找长圈的问题归约为证明一个辅助平面图上的渗流过程(利用Chayes--Machta和Edwards--Sokal几何展开构建)无无限连通分支;以及(iii) 关于平面图Benjamini--Schramm极限的渗流阈值的最新结果。