随机游走环汤中的共存、增强与短环

我们考虑一个一般的随机游走环汤，它包含或关联多个感兴趣的模型，例如自旋 O(N) 模型、双二聚体模型和玻色气体。由于环之间存在空间相互作用，该模型的分析具有挑战性。对于该模型，由 Quitmann 和 Taggi (2022) 已知，在三维及更高维度中，当逆温度足够大时会出现宏观环。我们的第一个结果是，在 $d$ 维格点上，排斥相互作用的存在导致了临界逆温度的偏移，该温度严格大于 $\frac{1}{2d}$（非相互作用情形下的临界值）。我们的第二个结果是，对于所有逆温度取值，都存在正密度的微观环。这意味着在宏观环存在的区域中，微观环与宏观环共存。此外，我们证明，尽管逆温度的增加会导致环总长度的增加，但微观环的密度在逆温度上一致有上界。我们的最后一个结果限于随机游走环汤对应于任意整数 $N \geq 2$ 的自旋 O(N) 模型这一特例，并表明在 $\mathbb{Z}^2$ 上，两个顶点被一个环连接的概率随其距离至少以多项式速度衰减。