大规模随机游走环汤的覆盖时间

我们研究二维大规模随机游走环汤的子集覆盖时间。考虑序列 $A_n \subset {\mathbb Z}^2$，满足 $|A_n| \to \infty$，并确定其覆盖时间 ${\mathcal T}(A_n)$ 的分布极限。我们允许环汤的杀死率 $\kappa_n$（或等价地，“质量”）依赖于待覆盖集合 $A_n$ 的大小。特别地，我们确定了覆盖时间在逆杀死率直至 $\kappa_n^{-1}=|A_n|^{1-8/(\log \log |A_n|)}$ 范围内的极限行为，表明其可由 Gumbel 分布描述。由于该模型中典型环的长度最多为 $\kappa_n^{-1/2}=|A_n|^{1/2}$ 量级，若 $\kappa_n^{-1}$ 超过 $|A_n|$，则紧密堆积集合 $A_n$（如正方形或接近球形的区域）中所有点的覆盖时间可能高度相关，从而使分析复杂化。我们的结果接近这一极端情形。