环 $O(n)$ 模型中的指数衰减：$n> 1$，$x<\tfrac{1}{\sqrt{3}}+\varepsilon(n)$

我们证明六角晶格上的环 $O(n)$ 模型在 $n> 1$ 且 $x<\tfrac{1}{\sqrt{3}}+\varepsilon(n)$（对某个合适的 $\varepsilon(n)>0$）时展现环路尺寸的指数衰减。预期对于 $n \leq 2$，该模型关于 $x$ 呈现相变，分隔环路尺寸多项式衰减与指数衰减的 regime。在此范式下，我们的结果意味着对 $n \in (1,2]$ 的相变发生于某个临界参数 $x_c(n)$，其严格大于 $x_c(1) = 1/\sqrt3$。后者的数值已知，因为六角晶格上的环 $O(1)$ 模型表示三角晶格上 Ising 模型自旋团的轮廓。证明基于将 $n$ 展开为 $1+(n-1)$ 并利用如下事实：当 $x<\tfrac{1}{\sqrt{3}}$ 时，Ising 模型在任意（可能非单连通）区域上展现指数衰减。后者由 FK-Ising 表示的正关联得出。