$U_{\mathfrak{q}}(\mathfrak{sl}_3)$ 网模型：局域性、相图与几何缺陷

我们继续研究 [13] 中引入的几何统计模型的推广，其形式为六角晶格 H 上具有 U_q(sl_n) 量子群对称性的网模型。此处我们聚焦于基于 Kuperberg A_2 蜘蛛的立体网（cubic webs）的 n=3 情形，并通过与著名的稀化环模型（n=2 情形）进行比较来阐明其性质。我们给出了一个局域顶点模型重构，类似于环模型与三态顶点模型之间的对应。n=3 表示在 H 的每条边上使用七种状态，显式展示了网的几何内容及其 U_q(sl_3) 对称性，并使我们能通过局域转移矩阵在柱面上研究该模型。对中心电荷的数值研究揭示，对于临界区中每个 q $\in \mathbb{C}$（|q|=1），网模型都拥有一个稠密和一个稀化临界点，正如其环模型对应物一样。在稠密 $q=-e^{i \pi/4}$ 情形下，n=3 网可识别为定义在 H 的对偶三角晶格上的临界三态 Potts 模型的自旋界面。我们还利用高温展开给出了到 H 本身上的 $\mathbb{Z}_3$ 自旋模型的另一种映射。随后我们讨论了一般 q 下转移矩阵的扇区结构，及其与条带和柱面几何中缺陷构型的关联。这些缺陷定义了电磁算子的有限尺寸前驱。该讨论为缺陷网共形性质的库仑气体描述铺平了道路，这将构成后续论文的主题。最后，我们确定了 $q=-e^{i \pi/3}$ 情形下临界网的分形维数，此为环模型中聚合物极限的 n=3 类比。