$\R^2$ 中 Ricci 流极大解的第二类熄灭剖面

我们考虑初值问题 $u_t = \Delta \log u$，$u(x,0) = u_0(x)\ge 0$ 于 $\R^2$ 中，它对应于 Ricci 流，即度量 $u (dx_1^2 + dx_2^2)$ 按 Ricci 曲率的共形演化。众所周知，极大（完备）解 $u$ 在时间 $T= \frac 1{4\pi} \int_{\R^2} u_0$ 后恒为零。假设 $u_0$ 具有紧支集，我们精确描述了 $u$ 在时刻 $T$ 的第二类消失行为：我们证明了存在一个以指数速度快速消失的剖面的内部区域，在适当缩放后是一个{\em 孤立子雪茄解}，以及一个保持对数尖点的外部区域的存在性。这是迄今在任何维度 Ricci 流中唯一被证明存在的第二类奇点。它严格恢复了 J.R. King \cite{K} 导出的形式渐近。