磁场中平面上的两个电荷 I. “准相等”电荷与静止中性量子系统情形

考虑了平面上两个具有有限质量的库仑电荷在垂直于平面的恒定磁场 $B$ 作用下的低能束缚态问题。重点研究了两个系统：具有相等荷质比的两个电荷（准相等电荷）以及中性系统，并给出了氢原子和两个电子（量子点）的具体结果。研究表明，对于这两种情况，当中性系统处于静止状态（质心动量为零）时，会出现一些突出的性质：在质心系 $(R, \phi)$ 和相对 $(\rho, \varphi)$ 的双极坐标中，(i) 本征函数是可分离的，除依赖于 $\rho$ 的因子外的所有因子均可解析求得，它们具有确定的相对角动量；(ii) $\rho$ 方向的动力学对两个系统是相同的，均由漏斗型势描述；(iii) 在某些离散的无量纲磁场值 $b \leq 1$ 处，系统变为{\it 准精确可解}，且 $\rho$ 方向的有限数量本征函数为多项式。本文采用了变分法。试探函数基于结合波函数相位的以下形式：(a) 大距离处的 WKB 展开，(b) 小距离处的微扰论，(c) 已知解析（准精确可解）本征函数的形式。对于相对磁量子数 $s=0,1,2$ 的最低态，该近似在磁场 $0.049\, \text{a.u.} < B < 2000\, \text{a.u.}$（氢原子）和 $0.025\, \text{a.u.}\eqslantless B \eqslantless 1000\, \text{a.u.}$（两个电子）范围内，分别给出了总能量 $E(B)$ 不低于 7 位、8 位、9 位有效数字的精度。