TVD 场与等熵气体流动

关于一维空间守恒律方程组柯西问题的大变分解的全局存在性，目前知之甚少。除了通过补偿紧性方法针对 $L^\infty$ 数据的结果外，任意 BV 数据的全局 BV 解的存在性仍然是一个突出的未决问题。特别是，尚不清楚等熵气体动力学是否承认一个适用于所有 BV 数据的先验变差界。在少数情况下此类结果是可用的：标量方程、Temple 类系统、满足 Bakhvalov 条件的 $2\times 2$ 系统，尤其是等温气体动力学。在这些情况的每一种中，方程都承认一个 TVD（总变差递减）场：这是一个定义在状态空间上的标量函数，其沿熵解的空间变差不随时间增加。在本文中，我们考虑严格双曲 $2\times 2$ 系统，并推导了标量场的表示结果，这些标量场在所有成对波相互作用中都是 TVD 的，前提是后者像 Glimm 格式那样被解析。随后，我们利用这一结果表明，具有 $\gamma$-律压力函数的等熵气体动力学不承认任何此类非平凡 TVD 场。