翻硬币而非抛硬币

给定 $[0,1]$ 中的一个数列 $\{p_n\}$，考虑以下实验。首先，我们抛掷一枚均匀硬币，然后在第 $n$ 步（$n\ge 2$），以概率 $p_n$ 将硬币翻到另一面。当 $n\to\infty$ 时，关于正面经验频率的分布我们能说些什么？我们表明，随着翻转速度变慢（即 $p_n$ 变小），会发生一系列相变，首先导致中心极限定理失效，然后导致大数定律失效。结果表明，临界状态为 $p_n=\text{const}/n$。在标度极限中，我们得到了均匀分布、高斯分布、半圆分布和反正弦分布律。