从旧硬币平滑地得到新硬币

给定一个（已知）函数 $f:[0,1] \to (0,1)$，我们考虑通过抛掷一枚正面概率 $p$ 未知的硬币以及一枚公平硬币各 $N$ 次（$N$ 可能随机）来模拟一枚正面概率为 $f(p)$ 的硬币的问题。Keane 和 O'Brien (1994) 的工作表明，存在一个满足 $\P_p(N<\infty)=1$ 的模拟方案当且仅当 $f$ 连续。Nacu 和 Peres (2005) 证明了 $f$ 在开集 $S \subset (0,1)$ 上实解析当且仅当存在一个模拟方案，使得对于每个 $p \in S$，概率 $\P_p(N>n)$ 随 $n$ 指数衰减。我们证明，对于非整数 $\alpha>0$，$f$ 属于空间 $C^\alpha [0,1]$ 当且仅当存在一个如上所述的模拟方案，满足 $\P_p(N>n) \le C (\Delta_n(p))^\alpha$，其中 $\Delta_n(x)\eqbd \max \{\sqrt{x(1-x)/n},1/n \}$。证明的关键是逼近论中的一个新结果：令 $\B_n$ 为 $n$ 次非负 Bernstein 系数单变量多项式的锥。我们证明，函数 $f:[0,1] \to (0,1)$ 属于 $C^\alpha [0,1]$ 当且仅当 $f$ 具有级数表示 $\sum_{n=1}^\infty F_n$，其中 $F_n \in \B_n$，且对于所有 $x \in [0,1]$ 和 $n \ge 1$，有 $\sum_{k>n} F_k(x) \le C(\Delta_n(x))^\alpha$。我们还对 Lorentz (1963) 的一个无证明陈述给出了反例，该陈述声称如果某些 $\phi_n \in \B_n$ 满足 $|f(x)-\phi_n(x)| \le C (\Delta_n(x))^\alpha$ 对所有 $x \in [0,1]$ 和 $n \ge 1$ 成立，则 $f \in C^\alpha [0,1]$。