全为硬币游戏中的最优策略

我们研究了一个顺序硬币翻转游戏，其中玩家开始时拥有 n 枚硬币，每枚硬币独立地以概率 p 落为正面。在每一轮中，玩家翻转所有剩余硬币，必须设置至少一枚显示正面的硬币；若无硬币显示正面，玩家即输掉。玩家获胜的条件是所有硬币均被设置 aside。这是一类随机最短路径马尔可夫决策过程，其贝尔曼方程涉及非线性后缀最大值算子。我们分析了两种自然策略——One（仅设置一枚正面）和 All（设置所有正面），并确定最优获胜概率 w_{n,p} 作为 n 和 p 的函数。对于 p=1/2，所有策略均实现 w_{n,1/2}=1/2。对于 p>1/2，策略 One 为最优，且 n ↦ w_{n,p} 严格递增；因此，极限 W(p):=lim_n w_{n,p} 具有显式级数表示，且满足 p ≤ W(p) < 1。对于 p<1/2 接近 1/2 时，我们进行一次一阶扰动展开，以 δ:=1/2-p 为小参数，证明赤字 1/2-w_{n,1/2-δ} ≈ δ c_n 在 δ 的一阶近似中，其中 c_n 满足 n ≥ 7 时的线性递推关系，极限 L=lim c_n ≈ 1.7035。因此，最优值序列在 δ 的一阶近似下，在 n=5 处具有严格的局部最小值，且不存在局部最大值——局部最大值是非扰动现象。