如何尽可能少输

假设 Alice 有一枚正面概率为 $q$ 的硬币，Bob 有一枚正面概率为 $p>q$ 的硬币。现在他们每人将抛掷自己的硬币 $n$ 次，如果 Alice 得到的正面次数多于 Bob，则她获胜。显然这个游戏对 Bob 有利，但对于给定的 $p,q$，选择哪个 $n$ 能最大化 Alice 的获胜机会？确定最优 $N$ 的问题首次出现在 \cite{wa} 中。我们证明存在一个本质上唯一的 $n$ 值 $N(q,p)$ 能最大化弱币获胜的概率 $f(n)$，并且它满足 $\frac{1}{2(p-q)}-\frac12\le N(q,p)\le \frac{\max{(1-p,q)}}{p-q}$。该分析使用 Zeilberger 算法的多元形式来寻找一个指示函数 $J_n(q,p)$，使得 $J>0$ 当且仅当 $n<N(q,p)$，随后对该函数进行仔细研究，该函数是两个勒让德多项式的线性组合。给出了一个基于积分的算法来计算 $N(q,p)$。