旧币生新币：在未知偏差下进行计算

假设给定一个函数 f : (0,1) -> (0,1)，且对某个未知的 p ∈ (0,1)，有一列独立投掷的 p-硬币（即正面概率为 p 的硬币）。对于哪些函数 f 可以模拟出一枚 f(p)-硬币？此问题由 S. Asmussen 和 J. Propp 提出。von Neumann (1951) 描述了针对常数函数 1/2 的一个简单模拟方案；该方案可使用有限自动机轻松实现。我们证明：一般而言，对所有 p ∈ (0,1)，一枚 f(p)-硬币可由有限自动机模拟，当且仅当 f 是 Q 上的有理函数。我们还表明，若一枚 f(p)-硬币可由下推自动机模拟，则 f 是 Q 上的代数函数；然而，下推自动机可对某些非有理函数（如 p 的平方根）模拟 f(p)-硬币。这些结果补充了 Keane 和 O'Brien (1994) 的工作，他们确定了在模拟方案无计算限制时哪些函数 f 可模拟出 f(p)-硬币。