$\mathbb R^n\times\mathbb R$与$\mathbb H^n\times\mathbb R$中高阶平均曲率流的平移解

我们考虑$\mathbb R^n\times\mathbb R$与$\mathbb H^n\times\mathbb R$中外在流（简称$r$-平均曲率流或$r$-MCF）的平移解，其速度函数为高阶平均曲率$H_r$。我们证明了在$\mathbb R^n\times\mathbb R$与$\mathbb H^n\times\mathbb R$中均存在旋转碗型与悬链线型$r$-MCF平移解，并且在$\mathbb H^n\times\mathbb R$中还存在抛物与双曲悬链线型$r$-MCF平移解。此外，我们证明了在$\mathbb R^n\times\mathbb R$与$\mathbb H^n\times\mathbb R$中存在高斯流（$n$-MCF）的Grim Reaper型平移解。我们还确立了所有这些平移解（连同某些柱面）在关于旋转或平移（欧氏、抛物或双曲）不变的解中的唯一性。我们将此唯一性结果应用于分类$\mathbb R^n\times\mathbb R$与$\mathbb H^n\times\mathbb R$中第$r$平均曲率为常数的$r$-MCF平移解，以及等参的此类平移解。我们的结果将Altschuler--Wu（关于碗型孤立子）与Clutterbuck--Schnürer--Schulze（关于平移悬链线）在欧氏空间中的存在与唯一性定理推广到了$\mathbb R^n\times\mathbb R$与$\mathbb H^n\times\mathbb R$中$r$-MCF的情境。