主动转子系统中的相变：不变双曲流形方法

我们主要关注一类具有平均场相互作用的广义主动转子，即单位圆上具有非平凡随机动力学的全局耦合大族动力系统。每个孤立系统是圆上的扩散过程，具有漂移项 -δ V'，其中 V' 是周期函数，δ 是强度参数。众所周知，在无穷多相互作用组分的极限下，相互作用动力学可由 Fokker-Planck 偏微分方程精确描述，且当 δ=0 时模型约化为 Kuramoto 同步模型的一个特例，对此可以证明相应 Fokker-Planck 方程存在一个稳定的正规双曲平稳解流形（我们感兴趣的是该流形非平凡的情形，这发生在相互作用足够强时，即 Kuramoto 模型的同步区域）。我们利用正规双曲结构的鲁棒性来推断 |δ|<δ₀ 情形下的定性和定量结果，其中 δ₀ 为适当阈值：事实上，我们获得了 δ=0 时不变流形上动力学的精确描述，并将其与势函数 V 显式联系起来。这种方法允许对主动转子模型的相图进行完整描述，至少在 |δ|<δ₀ 范围内，从而确定参数（特别是噪声强度和/或耦合强度）取何值时系统表现出周期性脉冲波或稳定于静止态。此外，我们的一些结果非常显式，这为主动转子动力学、噪声和相互作用的联合效应带来了新的见解。文中详细讨论了与特定系统文献，特别是神经元模型的联系。