均匀 Kuramoto-Daido 模型的相变与线性稳定性

我们考虑均匀噪声 Kuramoto-Daido 模型，这是圆上具有双峰相互作用 $W(\theta)=\cos\theta+m\cos2\theta$（$m\ge 0$）且相互作用强度为 $K$ 的 McKean-Vlasov 方程，推广了对应 $m=0$ 的著名噪声 Kuramoto 模型。我们的首要贡献是通过将其与均匀分布的线性稳定阈值 $K_\# = \min (1, m^{-1})$ 进行比较来刻画相变阈值 $K_{c}$。当 $m \leq 1/2$ 时，$K_{c}=1$，与 Kuramoto 模型一致。另一方面，对于 $m \geq 2$，我们证明 $K_c= m^{-1}$。我们还分类了相变连续或离散的 regime。我们的第二个贡献是分析全局最小化者 $q$（即“有序相”）的线性稳定性，其位于超临界 regime $K>1$ 中。该 McKean-Vlasov 方程的平稳解在平移不变性下唯一，且与均匀分布（即“无序相”）不同。我们的ethods 扩展了 Bertini 等人从单峰向双峰的 Dirichlet 形式方法。特别地，对于 $m \leq 1.590 \times 10^{-4}$ 且 $K>1$，我们给出该模型在 $q$ 处线性化 McKean-Vlasov 算子谱间隙的显式下界。我们不妄议的是，这是已知首个针对双峰相互作用模型进行严格稳定性分析。