环面上 McKean–Vlasov 方程的长时间行为与相变

我们研究 McKean-Vlasov 方程 $$\partial_t \varrho= \beta^{-1} \Delta \varrho + \kappa \nabla \cdot (\varrho \nabla (W \star \varrho)) \, ,$$ 在环面上具有周期边界条件的情况。我们首先研究齐次稳态的全局渐近稳定性。然后我们将注意力集中在稳态系统上，并在相互作用势的适当假设下，证明存在从齐次稳态分支出来的非平凡解，可能经过无穷多次分岔。我们还给出连续与不连续相变存在的充分条件。最后，我们将这些结果应用于若干相互作用势的例子，如用于同步的含噪 Kuramoto 模型、用于细菌趋化的 Keller–Segel 模型，以及用于观点动力学的含噪 Hegselmann–Krausse 模型，以展示这些结果。