有限体积中的McKean-Vlasov方程

我们研究了d维中尺度为L的有限环面上的McKean-Vlasov方程。我们推导了相变存在的必要和充分条件，这些条件基于文献[GP]和[KM]中首次揭示的判据。在这些文献及后续工作中，有迹象表明在相互作用参数的某个特定模型依赖值θ♯处存在临界转变。我们证明了均匀密度（可解释为液相）在θ < θ♯时是动力学稳定的，并抽象地证明了在θ = θ♯处必然发生临界转变。然而，对于该系统，我们证明在一般条件下——L大、d ≥ 2且各向同性相互作用——相变实际上是不连续的，并在某个θt < θ♯处发生。最后，对于具有不连续转变的H-稳定、有界相互作用，我们证明，在适当的标度下，当L → ∞时，θt(L)趋于一个确定非平凡极限。