平均场博弈 Turnpike 理论中的相变

我们研究了平坦环面上具有相互作用 $F(x,m)=\gamma (K*m)(x)$ 的平移不变平均场博弈，其中 $K$ 是光滑、偶且均值为零的函数。该相互作用是势能型的，源于二次能量的第一变分，尽管稳态系统并非以变分方式处理。在均匀平衡点附近线性化，得到具有色散关系 $\sigma_\xi(\gamma)=\nu^2(2\pi|\xi|)^4+\gamma(2\pi|\xi|)^2\hat K(\xi)$ 的逐模 $2\times 2$ 系统。若对于某个模式 $\hat K$ 为负，则有限阈值 $$\gamma_c=\min_{\hat K(\xi)<0}\frac{\nu^2(2\pi|\xi|)^2}{|\hat K(\xi)|}$$ 标志着稳定性的丧失；否则 $\gamma_c=+\infty$。在临界点附近，谱隙按 $\rho(\gamma)\sim C_*\sqrt{\gamma_c-\gamma}$ 缩放。对于 $\gamma<\gamma_c$，均匀状态在有限时域问题的 turnpike 意义下是指数稳定的，速率为 $\rho(\gamma)$。在 $\gamma=\gamma_c$ 处，谱隙闭合，并且在相位固定和中心流形约化后，得到阶为 $T^{-1/2}$ 的代数中点衰减。对于 $\gamma>\gamma_c$，通过叉式分岔振幅方程分岔出一支非均匀稳态解，平移生成了整个解族。最后，在亚临界区域对称 $N$-玩家均衡的标准渐近一致性假设下，我们得到了定性的混沌传播，但没有定量速率。