平均场平面旋转子与Kuramoto模型的动力学方面

Kuramoto模型被引入以描述细胞群、个体、电路等中观察到的同步现象。我们考察带有白噪声力的Kuramoto模型：在数学上，它是一组N个振子，每个振子由一个具有恒定漂移的独立布朗运动驱动，即每个振子有其自身的频率，通常不同振子的频率不同（这些频率通常被视为随机的，可看作一种淬火无序）。振子之间的相互作用是长程类型（平均场）。我们从统计力学的角度回顾了Kuramoto模型的一些结果：特别地，我们给出了可逆性的充要条件，并指出了在N趋于无穷极限下，与具有保守动力学的局域平均场模型的形式类比（这一类比被利用来特别识别可逆设置中的Lyapunov泛函）。然后，我们聚焦于具有正弦相互作用的可逆Kuramoto模型在N趋于无穷极限下的情况，并分析了当相互作用参数K大于其临界值K_c时出现的非平凡稳态分布的稳定性。我们提供了描述同步分布邻域内时间演化的线性算子的分析：我们展示了一个希尔伯特空间，在该空间中该算子具有自伴延拓，并作为主要结果，建立了对于所有K>K_c的谱隙不等式。