球面上的藏本模型：用群论与双曲几何解释其低维动力学

我们研究 $d$ 维空间中单位球面上运动的 $N$ 个相互作用粒子的系统。粒子自驱动且全耦合，其运动为强过阻尼。当 $d=2$ 时，该系统退化为经典的耦合振子藏本模型；当 $d=3$ 时，其被提出用于描述三维空间中无人机群或其他实体的朝向动力学。此处我们利用群论解释近期发现的该模型对所有 $N \ge 3$ 均展现低维动力学，并阐明其在连续极限 $N \rightarrow \infty$ 下容许 Ott-Antonsen 拟设类比的原因。根本原因在于该系统与单位球 $B^d$ 上的自然双曲几何紧密相连。在此几何中，等距变换构成一个由复分析中 M"obius 变换的高维推广组成的李群。一旦认识到这些联系，约化动力学与广义 Ott-Antonsen 拟设便随之立即得出。该框架也揭示了有限与无限 $N$ 情形之间的无缝联系。最后，我们表明特殊形式的耦合产生关于双曲度量的梯度动力学，并利用该事实获得关于收敛到同步态的全局稳定性结果。