Kuramoto 振子网络的双曲几何

Kuramoto 振子网络具有一个特殊性质，即其轨迹被约束在作用于状态空间 $T^N$（$N$ 重环面）的 M"obius 群的（至多）3D 轨道上。这一结果已被用于解释 Watanabe 和 Strogatz 发现的 Kuramoto 振子网络的 $N-3$ 个运动常数。在本工作中，我们研究了这一 M"obius 群作用的几何后果。Kuramoto 相位模型的动力学可以进一步约化为 2D 约化群轨道，其自然几何等价于具有双曲度规的单位圆盘 $\Delta$。我们表明，在此度规下，原始 Kuramoto 相位模型（序参数 $Z_1$ 等于单位圆上振子配置点的质心）是一个梯度流，而具有序参数 $iZ_1$（对应于余弦相位耦合）的模型是一个完全可积的哈密顿流。我们给出了广义 Kuramoto 相位模型在此度规下成为梯度流或哈密顿流的充要条件。这使得我们能够识别出几个新的无限族双曲梯度或哈密顿 Kuramoto 振子网络，因此它们相对于此几何具有简单的动力学。我们证明，对于 $Z_1$ 模型，通用的 2D 约化群轨道具有唯一的不动点，对应于振子配置的双曲重心，因此动力学在不同的通用约化群轨道上是等价的。对于更一般的双曲梯度或哈密顿流，情况并非总是如此；约化群轨道可能具有多个不动点，这些不动点也可能随着约化群轨道的变化而发生分岔。