Andrews-Garvan crank 函数的变换与对称性

设 $R(z,q)$ 为 Dyson 秩函数的二元生成函数。在最近与 Frank Garvan 的合作工作中，我们研究了 $R(\zeta_p,q)$ 的 $p$-分拆元素在 $SL_2(\mathbb{Z})$ 的特殊同余子群下的变换，其中 $\zeta_p$ 为 $p$ 次本原单位根，这使我们获得了有趣的对称性观察。在本工作中，我们针对二元 crank 生成函数 $C(z,q)$ 推导了类似的变换结果，以广义 eta 积表示。我们考虑群 $\Gamma_0(p)$ 对 $C(z,q)$ 的 $p$-分拆元素的作用，从而得到了 crank 函数的新对称性。作为应用，我们给出了 Dyson 于 1944 年预测、并由 Andrews 与 Garvan 在 1988 年解决的 crank 定理的一个新证明。此外，我们给出了对于素数 $p=11,13,17$ 和 $19$，以广义 eta 积表示 crank 分拆元素的恒等式。