迈向 Stiefel 流形上的近乎全局同步

若一个图 $\mathcal{G}$ 的交互拓扑由 $\mathcal{G}$ 给出时，类 Kuramoto 模型近乎全局同步，则粗略而言称该图为 $\mathsf{S}^1$-同步图。Kuramoto 模型在单位圆上演化，即 $1$-球面 $\mathsf{S}^1$。本文关注类 Kuramoto 模型以及同步图概念在 Stiefel 流形 $\mathsf{St}(p,n)$ 上的推广。先前关于状态空间振子的研究在很大程度上受到与 $\mathsf{S}^1$ 情形相关的结果与技巧的影响。最近已证明，对所有 $n\geq2$，所有连通图都是 $\mathsf{S}^n$-同步图。因此，先前的出发点可能过于保守。$n$-球面是 Stiefel 流形的一个特例，即 $\mathsf{St}(1,n+1)$。因此，自然地要问：$\mathsf{S}^{n}$ 上的结果能在多大程度上推广到 Stiefel 流形。本文证明，只要数对 $(p,n)$ 满足 $p\leq \tfrac{2n}{3}-1$，所有连通图都是 $\mathsf{St}(p,n)$-同步图。