黎曼流形上几乎全局同步的几何障碍

非线性空间上的多智能体系统有时会同步失败。这通常归因于智能体初始构型过于分散、图拓扑具有某些不期望的对称性，或两者兼有。除非线性外，非线性空间的几何与拓扑所起的作用常被忽视。本文关注一般黎曼流形上二次不一致函数的两个梯度下降流。一个系统是内蕴的，另一个是外蕴的。当用于建模网络的图连通时，我们推导了智能体从几乎所有初始条件同步的必要条件。若黎曼流形包含一条局部最小长度闭曲线，则存在一个连通图及一个稠密初始条件集合，从中内蕴系统无法同步。若流形是多连通的，则外蕴系统无法同步。外蕴系统出现在 $\smash{\mathcal{S}^1}$ 上的 Kuramoto 模型、$\mathsf{SO}(3)$ 上的刚体姿态同步、$n$-球面上的量子同步 Lohe 模型，以及 $\mathsf{U}(n)$ 上的 Lohe 模型中。除 $n\in\mathbb{N}\backslash\{1\}$ 的 $n$-球面上的 Lohe 模型外，存在这些系统无法同步的稠密初始条件集合。造成此差异的原因是：对所有 $n\in\mathbb{N}\backslash\{1\}$，$n$-球面是单连通的，而其他流形是多连通的。