有向切换拓扑下动力系统的同步问题：一种代数与几何视角

本文旨在研究在具有有向切换网络拓扑的通信条件下，一般线性或 Lipschitz 非线性类型动力系统的同步问题。我们对切换拓扑施加了一个温和的连通性假设，允许其为有向且联合连通的。我们提出了一种从代数和几何双重视角出发的新颖分析框架，以证明同步流形的吸引性。具体而言，证明了同步流形的补空间可由某些子空间张成。在线性情形下，这些子空间可以是拉普拉斯矩阵非零特征值的特征空间；它们也可以是这样的子空间：其中非线性自动态的投影仍保持 Lipschitz 性质。这使得能够将动力系统的状态投影到这些子空间中，并将所考虑的同步问题等价地转化为各子空间中投影状态的收敛问题。随后，在通信拓扑满足联合连通条件的假设下，我们能够为两类动力系统给出一种简单而有效且统一的收敛分析。更具体地，对于部分状态耦合的一般线性系统，证明了若系统动态满足一个易于在多种情形下验证的额外条件，则可实现同步。对于具有正定内耦合矩阵的 Lipschitz 型非线性系统，若在某些条件下耦合强度足以稳定各子空间中投影状态的演化，则可实现同步。