Mumford--Tate 域的环面紧化与堆栈上同调

Mumford--Tate 域参数化了具有固定 Mumford--Tate 群的极化 Hodge 结构，并在周期映射的几何中起着核心作用。其退化由幂零轨道和极限混合 Hodge 结构支配，其渐近行为编码在 Kato--Usui 的对数紧化中。本文构造并研究了\emph{对数 - 环面 Hodge 堆栈} $$\cD^{\log}_{\MT,\Sigma} := [D_{\MT,\Sigma}/\Gamma],$$ 该堆栈由 Mumford--Tate 域 $\DM$ 和幂零锥扇 $\Sigma$ 通过将 Kato--Usui 部分紧化 $D_{\MT,\Sigma}$ 对一个整齐算术群 $\Gamma \subset \MT(\Q)$ 取商而得到。我们证明了 $\cD^{\log}_{\MT,\Sigma}$ 是一个全局商 Deligne--Mumford 堆栈，它容许一个扩展周期域的自然对数结构，并且在靠近与锥 $\sigma\in\Sigma$ 相关的每个边界层时，它容许形式为 $$\bigl([F_\sigma/G_\sigma]\times \cT_\sigma\bigr)^\circ,$$ 的规范解析对数 -\'etale 图表，其中 $F_\sigma$ 是模去单幂作用的幂零轨道空间，$G_\sigma$ 是相关极限混合 Hodge 结构的有限对称群，$\cT_\sigma$ 是细化附属于 $\sigma$ 的环面簇 $D_\sigma$ 的环面 Deligne--Mumford 堆栈。这种分解清晰地将 Hodge 理论信息与组合及堆栈边界数据分离开来。