Grünbaum-Hadwiger-Ramos 超平面质量分割问题的拓扑

1960年 Grünbaum 询问对于 $\mathbb{R}^d$ 中任意有限质量，是否存在 $d$ 个超平面将其切成 $2^d$ 等份。Hadwiger (1966) 对 $d\le3$ 证明了这一点，但 Avis (1984) 对 $d\ge5$ 给出了反例，而 $d=4$ 的情形仍开放。更一般地，Ramos (1996) 询问最小维数 $\Delta(j,k)$，使得对于任意 $j$ 个质量，存在 $k$ 个仿射超平面同时将它们每个切成 $2^k$ 等份。目前 $\Delta(j,k)$ 的最佳下界由 Avis (1984) 和 Ramos (1996) 给出，最佳上界由 Mani-Levitska, Vrećica & Živaljević (2006) 给出。该问题一直是等变拓扑先进工具的重要试验场。我们给出关于 Grünbaum--Hadwiger--Ramos 问题研究的批判性综述，其中包括记录了一些先前主张证明中的本质漏洞。此外，我们确定了在 $j-1$ 是 $2$ 的幂且 $j\ge5$ 的情形下 $\Delta(j,2)= \frac12(3j+1)$。