基于有限傅里叶分析的平均值 Tverberg 划分

长期存在的拓扑 Tverberg 猜想断言：对于从 $N(q,d):=(q-1)(d+1)$-单形的边界到 $d$ 维欧几里得空间的任何连续映射，存在 $q$ 个两两不相交的子面，其像具有非空的 $q$ 重交集。对所有 $q$ 均成立的仿射情形构成了 Tverberg 于 1966 年提出的经典 Radon 定理的著名推广。尽管"Ozaydin 在 1987 年证明了所有素数幂的情形，但基于 Mabillard 和 Wagner 2014 年的工作，Frick 于 2015 年首次指出该猜想在所有非素数幂情形下存在反例。本文从有限群上调和分析的角度重新表述拓扑 Tverberg 猜想，并表明尽管该猜想不成立，但在紧维度 $N(q,d)$ 之下的连续映射仍能保证存在 $q$ 个两两不相交的子面——包括 $q$ 不是素数幂的情形——这些子面满足多种“平均值”重合性质，后者通过指定傅里叶变换的消失而获得。