拓扑Tverberg猜想的用户指南

拓扑Tverberg猜想曾被视为拓扑组合学的核心未解问题。该猜想断言：对任意整数 $r,d>1$ 以及 $(d+1)(r-1)$ 维单纯形到 $\mathbb R^d$ 的任意连续映射 $f:\Delta\to\mathbb R^d$，存在两两不交的面 $\sigma_1,\ldots,\sigma_r\subset\Delta$ 使得 $f(\sigma_1)\cap \ldots \cap f(\sigma_r)\ne\emptyset$。该猜想对素数幂 $r$ 已被证明。近来对其他 $r$ 找到了反例。类似地，$r$ 重范坎彭-弗洛雷斯猜想对素数幂 $r$ 成立，但对其他 $r$ 不成立。这些论证构成了组合学、代数与拓扑之间优美而富有成果的相互作用。我们给出了该领域非专家也能理解的简化阐述。我们也提及一些近期进展与开放问题。