通过相对等变阻碍理论的超平面质量划分

Grünbaum-Hadwiger-Ramos 超平面质量划分问题由 Grünbaum (1960) 在特例中提出，并由 Ramos (1996) 给出一般形式。它寻求“可容许”三元组 $(d,j,k)$，使得对于 $\mathbb{R}^d$ 中任意 $j$ 个质量，存在 $k$ 个超平面将每个质量切成 $2^k$ 等份。Ramos 猜想 Avis-Ramos 必要下界条件 $dk\ge j(2^k-1)$ 也是充分的。我们针对此问题发展了一种“联结方案”，使得若不存在 $G_k$-等变映射 $(S^d)^{*k} \rightarrow S(W_k\oplus U_k^{\oplus j})$ 在 $(S^d)^{*k}$ 的子空间（其中超八面体群 $G_k$ 非自由作用）上扩展某个测试映射，则意味着 $(d,j,k)$ 是可容许的。对于球面 $(S^d)^{*k}$，我们得到了非常高效的规则胞腔分解，其胞腔关于修正矩曲线上的测度获得组合解释。这使得我们即使在中 $(S^d)^{*k}$ 与 $S(W_k\oplus U_k^{\oplus j})$ 的维数差大于一的情况下，也能成功应用相对等变阻碍理论。阻碍类的计算导致级联 Gray 码的计数问题。因此我们给出了 Grünbaum-Hadwiger-Ramos 问题先前宣布情形的严格统一处理，以及 Ramos 猜想的若干新情形。