所有等变阻碍的消失与映射度

假设对所有 $k$ 及所有素数 $p$ 均有 $n\neq p^k$ 且 $n\neq 2p^k$。我们证明：对于任意具有对称群 $\mathfrak S_n$ 自由作用的 Hausdorff 紧统 $X$，存在一个 $\mathfrak S_n$-等变映射 $X \to {\mathbb R}^n$，其像避开对角线 $\{(x,x\dots,x)\in {\mathbb R}^n|x\in {\mathbb R}\}$。此前，针对某些 $X$ 的这一陈述的特殊情形通常借助等变阻碍理论证明。此类计算十分困难，且可能在第一（初级）阻碍之后便不可行。我们采用一种不同的方法，得以同时证明所有阻碍的消失。证明中的关键步骤是对从 $(n-1)$-单形的边界 $\partial\Delta^{n-1}$ 到自身的 $\mathfrak S_n$-等变映射的可能度进行分类。空间之间等变映射的存在性对离散数学与几何中出现的许多问题十分重要，例如 Kneser 猜想、方钉猜想、分割项链问题以及拓扑 Tverberg 猜想等。我们将该结果应用于此类问题之一——无嫉妒分割问题的一个具体实例，以展示其效用。