关于仿射不变点的格伦鲍姆猜想的一个简短证明

我们用 $\mathcal K_n$ 表示配备了豪斯多夫距离拓扑的 $\mathbb R^n$ 中所有凸体的超空间。仿射不变点 $p$ 是一个连续且 Aff(n)-等变的映射 $p:\mathcal K_n\to \mathbb R^n$，其中 Aff(n) 表示 $\mathbb R^n$ 的所有非奇异仿射映射的群。对每个 $K\in\mathcal K_n$，令 $\mathfrak{P}_n(K)=\{p(K)\in\mathbb R^n\mid p\text{ 是仿射不变点}\}$ 且 $\mathfrak{F}_n(K)=\{x\in\mathbb R^n\mid gx=x\text{ 对所有满足 }gK=K\text{ 的 }g\in Aff(n)\text{ 成立}\}$。1963年，B. Grünbaum 猜想 $\mathfrak{P}_n(K)=\mathfrak{F}_n(K)$。在取得一些部分结果后，该猜想最近由 O. Mordhorst 证明。在本短注中，我们仅基于 Aff(n) 在 $\mathcal K_n$ 上作用的拓扑，给出该猜想的一个相当不同、更简单且更短的证明。