计数格雷码以改进Grünbaum-Hadwiger-Ramos问题的上界

我们给出了Grünbaum--Hadwiger--Ramos问题的一个改进上界：设 $d,n,k \in \mathbb{N}$ 满足 $d \geq 2^n(1+2^{k-1})$。给定 $\mathbb{R}^d$ 上的 $2^{n+1}$ 个测度，存在 $\mathbb{R}^d$ 中的 $k$ 个超平面，将其划分为 $2^k$ 个对所有测度而言大小相等的集合。这是对Mani-Levitska, Vrećica & Živaljević在2006年得到的先前上界 $d \geq 2^{n + k}$ 的改进。这一结果是通过对某些格雷码模式的数量进行模2分类实现的。该归约由Blagojević, Frick, Haase & Ziegler在2016年提出，它利用了 $k$ 个定向超平面的对称群 $(\mathbb{Z}/2)^k \rtimes \mathfrak{S}_k$ 的群作用。如果我们像Mani-Levitska等人那样限制到子群 $(\mathbb{Z}/2)^k$，我们就能重新得到他们的上界。