具有足够多亚高斯边际体的 Hadwiger 问题

凸几何中由 Hadwiger 于 1957 年提出的猜想指出，$\mathbb{R}^n$ 中的每个凸体均可由其内部的 $2^n$ 个平移覆盖。尽管付出了巨大努力，六十多年来该问题已知的最佳界为 $\mathcal{O}(4^n \sqrt{n} \log n)$。2021 年，Huang、Slomka、Tkocz 和 Vritsiou 取得了重大突破，将估计改进了 $\exp\left(\Omega(\sqrt{n})\right)$ 的因子。此外，对于 $\psi_2$ 体，他们证明了至多需要其内部的 $\exp(-\Omega(n))\cdot4^n$ 个平移即可覆盖。通过概率方法，我们证明了对于具有足够多性质良好的亚高斯边际的凸体，也可得到界 $\exp(-\Omega(n))\cdot4^n$。利用小直径逼近，我们展示了如何将目前一般情形下的已知最佳界（由 Campos、Van Hintum、Morris 和 Tiba 给出）也从我们的结果中推导出来。