分数阶 $p$-Laplacian 的三种表示：半群、延拓与 Balakrishnan 公式

我们引入了分数阶 $p$-Laplace 算子在参数全范围 $0<s<1$ 与 $1<p<\infty$ 下的三种表示公式。注意当 $p\ne 2$ 时这是一个非线性算子。第一种表示基于一种将重正化非线性项与线性热半群相结合的分裂过程。第二种将非线性项适配于 Caffarelli-Silvestre 线性延拓技术。第三种是相应的 Balakrishnan 公式的非线性版本。我们还讨论了分数阶 $p$-Laplace 算子常数的正确选取，以实现当 $p\to 2$ 与 $s \to 0^+, 1^-$ 时的连续依赖。由此导出若干推论与提议。因而，我们提出了域上一种自然谱型算子，不同于作用于全空间的标准分数阶 $p$-Laplace 算子限制。我们还提出了数值格式、流形上分数阶 $p$-Laplacian 的新定义，以及 $W^{s,p}(\mathbb{R}^n)$ 半范数的另类刻画。