Hirota-Kimura型三维离散系统与变形Lie-Poisson代数

最近，Hirota和Kimura提出了Euler陀螺的一种新的离散化，具有若干显著性质。特别地，该离散化与原连续系统共享一个特征：它是一个三维代数完全可积的双哈密顿系统。Hirota-Kimura离散化方案等价于Kahan引入的一种二次向量场数值积分方法，Kahan将其应用于二维Lotka-Volterra系统。Euler陀螺自然可以用$\mathfrak{so}(3)$ Lie-Poisson代数表示。本文考虑与Gümral和Nutku提出的三维Lie-Poisson代数对相关联的代数可积系统，并根据Kahan和Hirota-Kimura的方案构造离散化它们的双有理映射。我们证明，如此得到的映射也是双哈密顿的，具有一对相容的泊松括号，它们是原始Lie-Poisson代数的单参数变形，因此这些映射是完全可积的。作为比较，我们还给出了三个具有超越不变量的双哈密顿系统的类似离散化，最后从Halburd的丢番图可积性准则的角度分析了所有得到的映射。