可积辛双有理映射交换系统的构造

我们给出了具有三次 Hamilton 函数的完全可积 $(2m)$ 维 Hamilton 系统的构造。该构造依赖于一个常数的斜 Hamilton 矩阵 $A$，即满足 $A^{\rm T}J=JA$ 的矩阵，其中 $J$ 是定义相空间 $\mathbb R^{2m}$ 上标准辛结构的非退化斜对称矩阵。对任何此类系统应用所谓的 Kahan-Hirota-Kimura 离散化格式，我们得到一个双有理的 $(2m)$ 维映射。我们证明该映射关于 $\mathbb R^{2m}$ 上标准辛结构的微扰的辛结构是辛的，并且拥有 $m$ 个独立的运动积分，这些积分是原 Hamilton 函数的微扰，且关于不变辛结构处于对合之中。因此，该映射在 Liouville-Arnold 意义下是完全可积的。此外，在对原始 $m$ 个交换向量场组进行适当规范化后，它们的 Kahan-Hirota-Kimura 离散化也是交换的，并且共享该不变辛结构和 $m$ 个运动积分。