具有BMS$_{3}$泊松结构的可积系统及局部平坦时空的动力学

我们构造了一族可积系统，其泊松结构对应于BMS$_{3}$代数，进而从三维局部平坦时空的黎曼几何角度讨论其描述。分析借助$isl(2,R)$的二维规范场展开。尽管该代数非半单，但由于其容许非退化不变双线性度量，该表述可按Drinfeld-Sokolov方式进行。该族被证明是双哈密顿的，由非负整数$k$标记，并通过Gelfand-Dikii多项式的适当推广定义。我们显式求出了该族对称性。对$k\geq 1$，相应的守恒荷张成无中心扩张的无限维阿贝尔代数，且彼此对合；而在$k=0$时，它们生成BMS$_{3}$代数。在$k=1$的特殊情形下，借助适当的场重定义与时间标度变换，场方程被证明等价于一类特定的Hirota-Satsuma耦合KdV系统。对$k\geq 1$，该族还将所谓的微扰KdV方程作为特例包含在内。我们还对一般的$k$值显式构造了广泛一类解析解。值得注意的是，该动力学可完全几何化，以描述嵌入局部平坦时空中的类空面的演化。事实上，三维广义相对论可赋予一组适当的边界条件，使得爱因斯坦方程恰好约化为上述可积系统的方程。可积系统的对称性于是作为保持时空度量渐近形式的微分同胚而出现，从而成为诺特定理意义下的对称性。该无限守恒荷集合由正则方法中相应的曲面积分恢复。