辛群覆盖上的 theta 函数

我们研究辛群 $Sp_{2n}$ 的 $r$ 重覆盖上的自守 theta 表示 $\Theta_{2n}^{(r)}$。该表示由此群上 Eisenstein 级数的留数得到。若 $r$ 为奇数且 $n\le r <2n$，则在关于 theta 表示的自然假设下，我们证明 $\Theta_{2n}^{(r)}$ 可用于构造 $Sp_{2n-r+1}$ 的 $2r$ 重覆盖上的一个一般表示 $\sigma_{2n-r+1}^{(2r)}$。此外，当 $r=n$ 时，该表示附属于可分解数据的 Whittaker 函数是可分解的，且非分歧局部因子可用 $n$ 阶 Gauss 和算出。若 $n=3$，我们无条件地证明了这些结果，此时它们涉及 $Sp_4$ 的六重覆盖。我们预期此处构造的表示 $\sigma_{2n-r+1}^{(2r)}$ 恰好就是 $\Theta_{2n-r+1}^{(2r)}$；即我们猜想不同覆盖群上的 theta 表示之间存在关联。