曲面或轨形对的体积

曲面对 $(X,C)$ 是正规曲面奇点 $(X,0)$ 的 germ 以及 $X$ 上曲线之和 $C=\sum c_iC_i$，其中 $c_i\in [0,1]$。轨形对具有 $c_i=1/n_i$，因为与小球面相交会产生一个三维轨形 $(\Sigma, \gamma_i,n_i)$。存在自然的曲面对态射和对数覆盖概念。我们引入了一个体积 $Vol(X,C)$，其值在 $\mathbb Q_{\geq 0}$ 中，可从任何对数消解计算得出，类似于我们在 1990 年 JAMS 论文中当 $C=0$ 时的情形。记 $\bar{C}=\sum (1-c_i)C_i$，则 $(X,C)$ 为对数典范当且仅当 $Vol(X,\bar{C})=0$。主要定理 (5.4-5.6) 指出 $Vol(X,C)$ 是“特征性”的：如果 $f:(X',C')\rightarrow (X,C)$ 是次数为 $d$ 的态射，则 $Vol(X',C')\geq d\cdot Vol(X,C)$，且当 $f$ 为对数覆盖时取等号。我们证明 (6.7) $Vol(X,\sum (1/n_i)C_i)=0$ 当且仅当关联轨形具有有限或可解的轨形基本群，并对这些情况进行了分类。在 (8.2) 中证明了 DCC 体积猜想的一个关键情形：集合 $\{Vol(X,\sum (1/n_i)C_i)|\ X\ \text{RDP}\}$ 满足 DCC，其最小非零体积为 1/3528。