关于 log 曲面体积的聚点

设 $\mathcal C\subset(0,1]$ 为满足降链条件的集合。我们证明，系数在 $\mathcal C$ 中的 log canonical 曲面 $(X, B)$ 的体积的任一聚点，都可以实现为一个 log canonical 曲面的体积，且该曲面具有 big and nef 的 $K_X+B$，系数在 $\overline{\mathcal C}\cup\{1\}$ 中，且至少有一个系数在 $Acc(\mathcal C)\cup\{1\}$ 中。作为推论，如果 $\overline{\mathcal C}\subset\mathbb Q$，则所有体积的聚点均为有理数，从而解决了 Blache 的一个猜想。对于标准系数集 $\mathcal C_2=\{1-\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb N\}\cup\{1\}$，我们证明了最小聚点介于 $\frac1{7^2\cdot 42^2}$ 与 $\frac1{42^2}$ 之间。