关于 S^2 上点的对数能量

我们重新审视一个经典问题：$n$ 个点在 $\mathbb{S}^2$ 上的最小对数能量有多大 $$\mathcal{E}_{\log}(n) = \min_{x_1, \dots, x_n \in \mathbb{S}^2} \quad \sum_{i,j =1 \atop i \neq j}^{n}{ \log{\frac{1}{\|x_i-x_j\|}} } ?$$ Betermin 与 Sandier（基于 Sandier 与 Serfaty 的工作）证明了 $$\mathcal{E}_{\log}(n) = \left( \frac{1}{2} - \log{2} \right)n^2 - \frac{n \log{n}}{2} + c_{\log} \cdot n + o(n),$$ 其中常数 $c_{\log}$ 由某个重正化极小化问题刻画。Brauchart、Hardin 与 Saff 在假设解析延拓的前提下猜想了 $c_{\log}$ 的闭式表达式（$\sim -0.05$）。我们描述了一种简单的重正化方法，其导出一个涉及高斯函数叠加的纯局部问题。特别地，若六角晶格极小化高斯能量，则将证明 $c_{\log}$ 确实与猜想值一致。我们还将下界从 $c_{\log} \geq -0.223$ 改进到 $c_{\log} \geq -0.095$。