球面上随机多项式零点的对数能量涨落

Smale 第七问题要求一种高效算法，以在球面上生成一组近乎最小化对数能量的 $n$ 个点配置。作为该问题的候选起始配置，Armentano、Beltrán 和 Shub 考虑了由 $n$ 次随机椭圆多项式根经球极投影所得点集，并计算了期望对数能量。我们研究与该随机配置相关的对数能量的涨落，并证明了一个中心极限定理。我们的方法表明，对数能量的所有累积量在渐近意义上关于 $n$ 线性，因此能量在 $\sqrt{n}$ 尺度上集中良好。