开曲面上曲线的对数典范次数的显式界

设 $X$ 为光滑射影曲面，$D$ 为 $X$ 上的简单正规交叉除子。假设 $\kappa (X, K_X + D)\ge 0$，令 $C$ 为 $X$ 上一条不可约曲线，其支撑不包含于 $D$ 中，$\alpha$ 为 $[ 0, 1 ]$ 中的有理数。遵循 Miyaoka，我们定义 orbibundle $\mathcal{E}_\alpha$ 为 $X$ 的 Galois 覆盖上对数微分的合适自由子层。利用 $\mathcal{E}_\alpha$，我们证明了偶对 $(X, D+\alpha C)$ 的 Bogomolov-Miyaoka-Yau 不等式。进一步假设 $K_X+D$ 为 big 且 nef，且 $(K_X+D)^2$ 大于 $e_{X\setminus D}$，即开曲面 $X\setminus D$ 的拓扑欧拉数。作为该不等式的推论，通过变动 $\alpha$，我们由不变量 $(K_X+D)^2$、$e_{X\setminus D}$ 和 $e_{C \setminus D}$（即 $C$ 的规范化减去其在 $D$ 的集合论原像中的点所得的拓扑欧拉数）的显式函数推导出 $(K_X+D)\cdot C)$ 的界。我们最终推得，在此类曲面上 $- e_{C\setminus D}$ 有界的曲线构成一个有界族，特别地，$X$ 上满足 $- e_{C\setminus D}\le 0$ 的曲线只有有限条。