曲率有界且 Enclosure 体积小于单位球的零维数曲面

我们构造了由 $\varepsilon > 0$ 参数化的 $\mathbb R^3$ 中的一族躯体，每个躯体由主曲率在 $[-1, 1]$ 区间内的光滑拓扑球面包围，其体积可任意接近 $16 - 4\sqrt 3 + \left(10 \sqrt 3 - 14\right) \pi - \left(\frac{10}{3} - \sqrt 3\right) \pi^2 \approx 3.70$。因此，与二维情况不同，单位球（其包围的球体体积为 $\frac{4}{3} \pi \approx 4.19$）并不包含所有主曲率在 $[-1,1]$ 区间内的 $\mathbb R^3$ 中光滑球面中体积最小的那个。这一结果回答了 Dmitri Burago 和 Anton Petrunin 的folklore问题。