所有代数实双曲空间上群作用的variety

对于基数 $\kappa$，记 $\mathbf{H}^\kappa$ 为维数为 $\kappa$ 的代数实双曲空间。对于拓扑群 $\Gamma$，我们研究连续表示 $\Gamma \to \operatorname{Isom}(\mathbf{H}^\kappa)$ 在连续自表示 $\operatorname{Isom}(\mathbf{H}^\kappa)\to \operatorname{Isom}(\mathbf{H}^\kappa)$ 下的同构类。本工作的创新点在于同时考虑所有基数（有限或无限）。我们将这些表示类集合赋予自然拓扑，证明该特征variety紧致。这也使我们能够恢复通过 $\operatorname{Isom}(\mathbf{H}^n)$ 上的某些作用到实树上实现的前任compactification。某类表示特别恢复其标记长度谱的仿射类。我们定义代数交叉比的概念，并证明了 GNS-嵌入结果，使我们能够推广标记长度谱的某些刚性性质。我们还引入抽象交叉比的概念，并用以表明广泛的群 $\Gamma$（由称为 $3$-full 在 $\operatorname{CAT}(-1)$-空间上作用的存在性特征界定）至多只有一个不可约表示类进入 $\operatorname{Isom}(\mathbf{H}^\kappa)$，其有界性特性由 $(X,d)$ 的有界性控制。我们将其用于诸如 $\operatorname{Isom}(\mathbf{H}^\kappa)$ 本身、值域为可数无穷的单纯树的自同构群 $\operatorname{Aut}(T_\omega)$ 以及非阿尔米夫域上射影线的自同构群 $\operatorname{PGL}_2(\mathbb{K}, \lvert\cdot \rvert)$。