Thompson 群 $F$ 的“扩展”

回顾一下，如果群 $G$ 中的每个非平凡元素 $g\in G$ 都有一个协同生成元（即一个与 $g$ 共同生成 $G$ 的元素），则称该群为 $\frac{3}{2}$-生成的。Donoven 和 Harper 在 2019 年证明了 Thompson 群 $V$ 是 $\frac{3}{2}$-生成的。这是首个无限、有限呈现且非循环的 $\frac{3}{2}$-生成群的例子。2022 年，Bleak、Harper 和 Skipper 证明了 Thompson 群 $T$ 也是 $\frac{3}{2}$-生成的。由于 Thompson 群 $F$ 的交换化是 $\mathbb{Z}$，它不可能是 $\frac{3}{2}$-生成的。然而，我们最近证明了 Thompson 群 $F$ 是“几乎” $\frac{3}{2}$-生成的，意思是 $F$ 中每个在交换化下的像构成 $\mathbb{Z}^2$ 生成对一部分的元素，都是 $F$ 中某个生成对的一部分。$\frac{3}{2}$-生成的一个自然推广是扩展（spread）的概念。回顾一下，群 $G$ 的扩展是指所有整数 $k$ 的上确界，使得 $G$ 中任意 $k$ 个非平凡元素在 $G$ 中拥有一个公共协同生成元。群 $G$ 的一致扩展是指所有整数 $k$ 的上确界，存在一个共轭类 $C\subseteq G$，使得 $G$ 中任意 $k$ 个非平凡元素拥有一个属于 $C$ 的公共协同生成元。在本文中，我们研究了针对 Thompson 群 $F$ 的这些概念的修正版本。