Gelfand 对的 Berezin 变换的谱

我们讨论 Berezin 变换,这是一种与正算子值测度(POVMs)相关联的 Markov 算子。我们考虑所谓轨道 POVM 的类,其构造于紧群 $G$ 对其子群 $K$ 的商空间 $\Omega = G/K$ 上。我们将注意力限制在 $(G, K)$ 为 Gelfand 对的情形,并推导出 Berezin 变换的谱关于 $G$ 的不可约酉表示的特征的显式公式。随后,我们将结果专门应用于案例 $G = \text{SU}(2)$ 与 $K \simeq S^1$,并求得 $S^2$ 上轨道 POVM 的谱。我们确认了 Zhang 与 Donaldson 先前关于源自 K"ahler 几何的 $S^2$ 标准量子化的谱的计算。接着,我们就特征值序列中的振荡提出若干猜想,并在次高权向量的最简单情形中予以证明。最后,对于低权情形,我们证明 $S^2$ 上相应的轨道 POVM 违背 Berezin-Toeplitz 量子化的公理。