复合算子、其 Berezin 值域的凸性及相关问题

作用在再生核 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上的有界算子 $T$ 的 Berezin 值域为集合 $\text{Ber}(T)$ := $\{\langle T\hat{k}_{x},\hat{k}_{x} \rangle_{\mathcal{H}} : x \in X\}$，其中 $\hat{k}_{x}$ 是 $\mathcal{H}$ 在 $x \in X$ 处的归一化再生核。一般地，算子的 Berezin 值域不是凸的。本文讨论 Berezin 变换值域的凸性。我们刻画了作用于单位圆盘 Hardy 空间与 Bergman 空间的一类复合算子的 Berezin 值域的凸性。此外，对于所谓的超二次（superquadratic）函数，我们证明了再生核 Hilbert 空间 $\mathcal{H}(\Omega)$ 上正自伴算子 $A$ 的 Berezin 集映射定理，即证明 $f(\mathrm{Ber}(\Phi(A)))=\mathrm{Ber}(\Phi(f(A)))$，其中 $\Phi:\mathcal{B}\left( \mathcal{H}\left( \Omega\right) \right) \mathcal{\rightarrow}\mathcal{B}\left( \mathcal{K(}Q\mathcal{)}\right)$ 是归一化正线性映射。